Relja Bašić je rođen u Zagrebu 14. februara 1930. godine. Njegova majka Eli Bašić je bila poznata pijanistkinja. Dobio je prezime po svome očuhu Mladenu Bašiću, hrvatskom dirigentu.
Diplomirao je glumu na ADU u klasi dr. Gavele. Godine 1955, pri kraju studija, reditelj Bojan Stupica ga uključuje u dramski ansambl HNK u Zagrebu, gde, ostvarivši niz uloga s istaknutim rediteljima (Stupica, Radojević, Gavela, Paro, Habunek, Violić, Juvančić, Spaić) i odigravši 498 predstava ostaje u stalnom angažmanu do 1967. godine.
Godine 1968. Bašić prelazi u status samostalnog umetnika te kao glumac i reditelj deluje u Teatru ITD, Kazalištu Komedija, Zagrebačkom kazalištu mladih, kao i na Dubrovačkim letnjim igrama. U tim pozorištima odigrao je 797 predstava i realizovao svojih prvih šest režija (Ljubaf, Crna komedija, Jedan dan u smrti Joe Egg, Stara vremena, Obećanja i Hotel Plaza).
