Brkić je rođen 24. jula 1974. godine u Sarajevu. Košarkom se počeo baviti u Bosni kada je imao 10 godina. Bio je na pragu prve ekipe početkom rata 1992. godine kao sedamnaestogodišnjak, ali je napustio BiH i otišao u Srbiju, gde je ubrzo potpisao za Partizan. Trenirao je s mladim timom, a potom je pozajmljen Borcu iz Čačka, gde je započeo profesionalnu karijeru.
Godinu dana kasnije se vratio u Partizan i odigrao šest sezona. Osvojio je tri šampionske titule i tri kupa. Bio je jedan od najboljih igrača Partizana u F4 Evrolige u sezoni 1997/1998.
Tokom sezone 1999/2000. je igrao za Budućnost iz Podgorice, gde je osvojio titulu prvaka Jugoslavije. Sezonu 2000/2001. je počeo u Budućnosti, ali se vratio u Partizan. Brkić je za Partizan odigrao 290 utakmica i deseti je na večnoj listi. Sa 3.709 poena nalazi se na osmom mestu liste strelaca, a sa 951 poenom je na petom mestu najefikasnijih igrača Partizana u evropskim kupovima.
Brkić se smatra jednim od najtalentovanijih košarkaša koji su se na našim prostorima pojavili u poslednjih 30 godina, a navijači Partizana i danas često skandiraju ime ovog Sarajlije.
Brkić je bio mladi reprezentativac Jugoslavije, koja je 1996. osvojila bronzanu medalju na Evropskom prvenstvu za U20 reprezentaciju u Turskoj. Bio je na pripremama i igrao prijateljske utakmice za seniore, ali se nikada nije pojavio na velikom takmičenju.
